Trouve-t-on vraiment le nombre d’or dans les plantes ? Pour répondre à cette question il est essentiel de comprendre ce qu’est le nombre d’or afin de voir quel sens on peut donner à sa présence ou non dans la nature.

Vous l’aurez compris cet article et cette vidéo s’écartent un peu des thématiques habituelles, mais vous commencez à me connaitre, j’aime bien explorer les sujets connexes.

Qu’est-ce que le nombre d’or ?

Définir le nombre d’or peut se faire de plusieurs façons. En général ce sont des définitions mathématiques. Dans cet article, je vais prendre quelques libertés pour le présenter de manière différente, en le présentant comme un problème de construction. Puisque même si on ne connait pas bien le nombre d’or, on a compris qu’il était plus ou moins utilisé dans les constructions humaines.

Pour construire, un temple, une cathédrale ou une pyramide, on doit certes faire des plans, mais il faut avant tout définir une unité de mesure. Imaginez le bazar si chaque ouvrier utilise une unité de mesure différente ! Par exemple les égyptiens utilisaient la coudée royale qui mesure entre 52 et 54cm. Les architectes égyptiens avaient donc cette mesure de référence sous forme d’un morceau de bois, qui permettait à tout un chacun de calibrer ses outils de mesure.

De cette unité de mesure on peut définir trois formes de base. Un cercle dont le rayon est égal à l’unité de mesure, un carré dont les côtés valent l’unité de mesure et pourquoi pas un triangle.

Maintenant, imaginons l’architecte penser son plan à une époque où les calculatrices n’existaient pas et les outils de mesure n’avaient qu’une précision relative. La seule chose sur laquelle on pouvait se fier c’est notre unité de mesure, qu’il n’est pas forcément facile de diviser de manière précise. Une des façons de contourner ce problème est d’imaginer le plan sous forme de proportions. Construire un plan non pas en utilisant des dimensions mais des proportions. L’idée est donc de chercher une proportion qui pourrait se déduire facilement de notre unité de mesure, grâce aux seuls instruments dont on dispose à savoir, le compas, la règle et l’équerre.

La première idée qui vient est d’utiliser le carré unité car il fait apparaitre une nouvelle mesure grâce à sa diagonale. On peut donc se servir de cette diagonale pour construire un rectangle qui aurait pour largeur notre unité, et comme longueur la diagonale du carré unité. C’est facile à faire, il suffit de reporter la longueur de la diagonale sur l’axe horizontal pour déterminer la longueur du rectangle.

Le rapport entre la longueur et la largeur de ce rectangle est égal à la racine carré de 2 puisque la diagonale du carré est aussi l’hypoténuse du triangle rectangle dont les côtés valent 1. (voir théorème de pythagore 😁)

Nous ne sommes donc pas encore arrivé au nombre d’or, mais ce ratio est un ratio auquel vous êtes familier puisque c’est le ratio d’une feuille A4. En fait c’est le principe du format A quelque chose : le rapport entre la longueur et la largeur de la feuille fait toujours racine de 2. Mais peu importe si notre architecte décide d’utiliser ce ratio pour faire la façade de son bâtiment ou bien pour définir la taille d’une brique, n’importe qui pourra reproduire ce ratio, idéalement en utilisant l’unité de mesure de référence. Mais même si son unité n’est pas tout à fait la même, le ratio sera conservé puisque le raisonnement s’est fait en proportion plus qu’en valeur absolue.

Par exemple, dans le plan suivant (basique j’en conviens) tous les rectangles rouges respectent la proportion et donc peuvent se définir facilement à l’aide de l’unité de hauteur pour le bâtiment qu’on aura choisi.

Mais cette proportion qui vaut racine de 2 n’est pas le nombre d’or. Voyons si on peut trouver une autre façon de faire un rectangle qui se déduit de l’unité de base : en deux mots, trouver une autre proportion qui pourrait amener des propriétés supplémentaires.

Notre point de départ est toujours notre unité de référence. Que ce soit la coudée royale ou le mètre, peu importe. L’idée est de trouver une proportion qui nous permet de passer de l’unité de référence à une longueur L. Mais comme à ce stade il y a une infinité de solutions pour choisir L, on se rajoute une contrainte. On veut que si on multiplie à nouveau L par L ce soit équivalent à additionner le segment unité avec le segment L. Ce qu’on peut représenter par le schéma suivant :

La question est maintenant de savoir si notre contrainte est réaliste et qu’il est possible de trouver une valeur de L pour laquelle la contrainte pourra être respectée. Pour le savoir, il suffit de résoudre l’équation du second degré que notre contrainte fait apparaitre.

Notre contrainte peut être respectée si on prend comme multiplicateur, et donc comme rapport de proportion, la valeur qu’on appellera phi :

À notre époque où on sort les calculatrices de manière automatique, la valeur de racine carré de 5 divisé par 2 ne nous dit pas forcément grand chose. Mais quand on est habitué à calculer à la main, on repère tout de suite qu’il s’agit de la valeur de l’hypoténuse d’un triangle rectangle ayant pour petit côté 1/2 et pour grand côté 1. Ce qui rend facile la construction d’un tel rapport.

Il suffit de reprendre notre carré unité, de prendre le milieu de sa base et de rejoindre le sommet de droite, et reporter cette distance sur l’axe horizontal.

Cette contrainte permettant de préserver les ratios nous a donc donné un rectangle qui se déduit du carré unité et dont les proportions semblent intéressantes.

Voyons ce que cette nouvelle proportion peut amener comme propriété intéressante. Notre contrainte nous a montré que la valeur phi est solution de l’équation L² – L – 1 = 0

On peut donc écrire phi² – phi – 1 = 0 ou pour que ce soit plus pratique phi² = phi + 1

Ca parait anodin mais cette équation veut dire que élever phi au carré revient simplement à lui ajouter 1, ce qui est bien pratique quand on n’a pas de calculatrice. Le calcul est très facile à faire. Mais au delà de ça, une nouvelle propriété apparait.

Repartons de notre unité de référence et appliquons-lui le ratio phi. On obtient un segment de longueur phi. Appliquons maintenant ce même ratio phi à phi. On obtient phi au carré, mais comme phi au carré est égal à phi + 1, le troisième segment est donc égal au segment unité additionné au segment phi. Prenons cette nouvelle mesure et appliquons-lui encore le même ratio phi. Ça nous donne :

phi x ( phi + 1) c’est-à-dire phi² + phi. Et comme phi² = phi + 1 c’est égal à phi + 1 + phi c’est-à-dire à 2phi + 1. Et on peut continuer comme ça.

En fait notre opération revient à calculer les différentes puissances de phi qu’on peut à chaque étape ramener à une expression de la forme a x phi + b en remplaçant à chaque fois que phi² apparait par phi + 1.

Cette particularité du nombre phi permet de facilement utiliser ce rapport. Par exemple si on prend un rectangle unité en format portrait. Sa largueur fait 1 et sa longueur fait phi. Maintenant on souhaite inscrite ce rectangle dans un autre rectangle en format paysage, avec la contrainte que le ratio entre le rectangle unité et le rectangle qui le contient soit également phi. Il suffit que le rectangle en format paysage ait une largeur égale à phi² et une longueur égale à phi³ . Et comme il y à la place, on met deux rectangles unités dans le rectangle contenant. Sans faire de calculs compliqués, simplement en ayant utilisé le bâton unité et le bâton phi, il est possible de réaliser la façade du temple.

Dans le plan on a les mesure 1, phi, phi² et phi³, mais pour le construire en vrai, on utilisera la même progression des puissances de phi, par exemple phi¹⁰, phi¹¹, phi¹², phi¹³ . Et comme chaque puissance de phi peut se ramener à une expression ( a x phi + b ) dans laquelle b indique le nombre de fois qu’on utilise le bâton unité et a le nombre de fois qu’on utilise le bâton phi.

Raisonner en puissance de phi dans les constructions permet de tout mesurer avec seulement deux mesures de base, l’unité de référence et le bâton phi obtenu à partir de cette unité de référence.

Les triangles d’or

Le rectangle d’or n’est pas la seule figure géométrique dans laquelle on peut faire apparaitre le ratio phi. On peut faire deux triangles respectant ce ratio. Ces deux triangles se retrouvent naturellement dans la construction d’un pentagone.

Tout comme il est très facile de manipuler les rectangles d’or grâce aux puissances de phi, il est également très facile de combiner les triangles d’or. Comme le montrent ces images, tirées de l’article wikipédia sur les triangles d’or.

Grâce aux triangles d’or il est également très facile de tracer un pentagramme.

Le nombre d’or en botanique

Maintenant qu’on a bien compris le nombre d’or, le premier constat immédiat que l’on peut faire c’est que celui-ci apparait naturellement dans toutes les fleurs régulières de type 5, puisque ces fleurs peuvent s’inscrire dans un pentagone. Par exemple ici sur la fleur de pervenche :

On pourra donc faire apparaitre le nombre d’or dans toutes formes pouvant s’inscrire dans un pentagone. Qu’elles soient végétales ou animales.

Néanmoins il y a des façons plus subtiles de le faire apparaitre, notamment dans le tournesol ou la pomme de pin. En effet, quand on observe un capitule de tournesol ou l’arrangement des écailles d’une pomme de pin, on remarque une similitude de structure :

La question est maintenant de savoir si cette structure découle d’une géométrie sacrée ou bien si c’est un phénomène naturel dont on pourrait trouver l’explication. Les arrangements qu’on peut trouver sur les végétaux ont suscité la curiosité au point d’en faire une science, la phyllotaxie.

Comme ça n’aurait aucun sens de recopier l’article wikipédia sur la phyllotaxie, on va se limiter aux résultats qui nous intéressent. Concernant les spirales observées sur le tournesol et la pomme de pin, elles sont la conséquence d’une croissance sous contrainte. Ce qui est le cas également de la croissance de nos bâtons en début d’article, puisqu’on souhaitait une croissance qui préserve le ratio entre deux étapes. Tout comme la suite de fibonacci qui peut être vue comme une croissance contrainte puisque chaque terme de la suite (à l’exception des deux premiers) doit être égal à la somme des deux précédents.

Il s’avère que ce sont également les contraintes auxquelles sont soumis les primordia, c’est-à-dire les embryons de pièces végétales qui les poussent à croitre en générant cette géométrie. Ce qu’on appelle la règle de Hofmeister.

Le plus fascinant dans tout ça c’est que si on compte le nombre de spirales dans un sens et le nombre de spirales dans l’autre, on réalise que ces nombres sont des termes de la suite de Fibonacci, et qui plus est, deux termes consécutifs. Ce qui veut dire que le ratio des nombres de spirales est proche de phi.

Un autre cas dans lequel on trouve phi dans les végétaux, c’est l’angle que font les feuilles entre elles lorsqu’elles poussent le long d’une tige. Lorsqu’une tige pousse, les feuilles viennent au fur et à mesure et il s’avère que l’angle que forme deux feuilles poussant l’une après l’autre forme un angle proche de l’angle d’or dans 80% des cas. L’angle d’or se calcule également avec un ratio mais cette fois-ci en faisant le ratio des arcs de cercle. Dans l’image ci-dessous, a/b = phi.

L’angle que fait la première feuille qui pousse (la feuille numéro 1) avec la deuxième feuille à pousser forme un angle proche de l’angle d’or.

Article en cours de rédaction, veuillez patienter pour la suite…